Kör inte på tanten

Kurs: Matematik 2c

Centralt innehåll: Algebraiska och grafiska metoder för att lösa exponential- och andragradsekvationer samt linjära ekvationssystem. Konstruktion av grafer till funktioner samt bestämning av funktionsvärde och nollställe, med och utan digitala verktyg. Strategier för matematisk problemlösning inklusive användning av digitala medier och verktyg. Matematiska problem av betydelse för samhällsliv och tillämpningar i andra ämnen.

Kurs: Fysik 1a

Centralt innehåll: Hastighet, rörelsemängd och acceleration för att beskriva rörelse. Avgränsning och studier av problem med hjälp av fysikaliska resonemang och matematisk modellering innefattande linjära ekvationer, potens- och exponentialekvationer, funktioner och grafer samt trigonometri och vektorer. Bearbetning och utvärdering av data och resultat med hjälp av analys av grafer, enhetsanalys och storleksuppskattningar.

Uppgift: En reklamkampanj säger: “En bil kör 50 km/h och blir omkörd av en annan bil som kör 60 km/h. Då bilarna ligger jämsides kliver en tant ut i gatan. Båda förarna reagerar lika fort och bromsar lika hårt. Bilen som kör 50 km/h klarar precis att stanna innan tanten. Den andra kör på tanten i 44 km/h. 9 av 10 dör av en sådan påkörning.”

Stämmer påkörningshastigheten i kampanjen? Båda bilarna har klarat besiktningen och har därför en bromsverkan på minst 5,8 m/s²

Maximal bromseffekt som går att uppnå är 9,8 m/s². Prova med båda extremvärdena när ni räknar för att se hur resultatet skiljer sig.

Förklaring: En ganska svår, men utmanande uppgift. Kan eventuellt köras i bara matematik. Att formulera själva uppgiften är viktigt här och det kan vara lämpligt att låta eleverna arbeta i par eller grupper medan de funderar på vilka fakta de behöver veta för att börja lösa uppgiften. Ett exempel på hur eleverna skulle kunna formulera uppgiften är “Den bil som kör fortast bör vara den bil som kommer fram till tanten först. Bilarna når henne alltså inte samtidigt. Avståndet till tanten när bilarna ligger sida vid sida motsvarar den sträcka som det tar för den långsammare bilen att stanna. Vi ska beräkna hur fort den andra bilen kör när den första precis har stannat.”

Att räkna fram ett resultat kräver goda matematiska och fysikaliska kunskaper och därför får man göra ett enklare antagande. Anta att bilarnas hastigheter och därmed också deras positioner ändrar sig under ett litet tidsintervall, exempelvis en tiondels sekund . Med ett så kort tidsintervall kan vi räkna med att hastigheten är konstant. Under reaktionstiden förutsätter vi att bilarna bibehåller sin hastighet och sedan börjar bromsa. För att göra det enkelt för oss antar vi också att inbromsningen är konstant, utan att hjulen låser sig. Utifrån dessa antaganden är det lättare att sätta upp formler att arbeta med. Hastigheten minskar med:

b används för att ange retardationen, till exempel 8 m/s²

Den sträcka som bilarna förflyttat sig på det lilla tidsintervallet får följande formel:

Ställ upp en tabell med värden och gör en grafisk lösning. Allra enklast blir det med ett kalkylprogram.

Uppgiften beskrivs utförligare i boken Matematikk & Undervisning.